A Poli-Logi őszi fordulója

Poli-Logi
Második forduló

A beadás határideje: 2019. november 11., hétfő.
A beadandó feladatok címzettje: Kováts Lívia tanárnő (livia@poli.hu).
Minden megoldást indokolni kell.
A hat feladat közül ötöt kell helyesen megoldani a jeleshez.

1. Sierpinski-háromszög
Az ábrákon a Sierpinski-háromszögek láthatók, melyeket egy lengyel matematikusról, Waclaw Sierpinskiről neveztek el. Készítése: Egy egyenlő oldalú (szabályos) háromszög oldalfelező pontjait összekötve újabb egyenlő oldalú háromszöget kapunk. Ezután vágjuk ki az új háromszöget, így három egyenlő oldalú háromszög marad az eredeti háromszögön belül. Ismételjük meg az eljárást minden kisebb háromszögön, s eredményül a Sierpinski-háromszöget kapjuk. (A fekete rész a háromszög, a fehér a „lyuk” benne, melyet kivagdostunk). A bal oldali ábrán az eredeti nagy háromszög hányad része fekete?

2. Gyorsított felvétel
Péter egy biológiaversenyen a növények fejlődéséről fog előadást tartani. Ezért elültet egy babszemet, és 90 napon keresztül filmre veszi a fejlődését úgy, hogy rendszeres időközönként készít egy-egy képkockát, majd ezt a filmet 24 képkocka/másodperc sebességgel vetíti le. Péter egy háromperces filmet szeretne készíteni a bab fejlődéséről. Hány PERCENKÉNT kell egy filmkockát rögzítenie Péternek? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

3. Sakkóra
A sakkversenyeken a játékosok gondolkodási idejét a Fischer-féle sakkórával mérik. Egy játékos gondolkodási ideje 90 perc, de ehhez minden megtett lépés után kap 30 másodperc jutalomidőt. Például, ha a játékos az első lépésén 15 másodpercig gondolkodik, akkor a lépés megtétele után a hátralévő ideje: 90 perc (alapidő) + 30 másodperc (jutalomidő) – 15 másodperc (elhasznált idő) = 90 perc és 15 másodperc (hátralévő idő).
a) A sötét bábukat irányító sakkozó az első 20 lépésén összesen 39 percet gondolkodott. Hány perc gondolkodási ideje van még hátra?
b) A világos bábukat irányító játékos hátralévő gondolkodási ideje a 10. lépése után pontosan 87 perc. Összesen hány percet gondolkodott eddig a játszma során?

4. Szavazás
Egy városban népszavazást írtak ki arról, hogy megépüljön-e egy új erőmű a település határában. Az építkezés akkor valósulhat meg, ha a szavazásra jogosultak legalább 50 százaléka igennel szavaz. Ha a szavazáson a jogosultak 80%-a vett részt, akkor a leadott szavazatok között legalább hány százaléknyi „igen”-nek kell lennie az építkezés elindításához?

5. Biliárdgolyók
Melyik három különböző biliárdgolyót kell elhelyezni a körökben, hogy teljesüljön az egyenlőség?

6. Jelszógenerálás
Marci honlapot készít az osztályának. Osztálytársai az első belépéskor egy véletlenszerűen generált jelszót fognak kapni. Marci kétféle jelszótípus közül választhat. Az egyik két betűvel kezdődik, ezt hat számjegy követi, a másik három betűvel kezdődik, és három számjegy követi. Marci azt a jelszótípust szeretné használni, amelyikből többféle jelszó állítható elő, mert az biztonságosabb, azaz egy idegen nehezebben tudja kitalálni azokat. (A jelszavakban a latin ábécé 24-féle betűje fordulhat elő, a számjegy 0 és 9 között bármelyik szám lehet. A betűk és a számjegyek is ismétlődhetnek.) Melyik jelszótípust használja Marci?