A PoliLogi márciusi megfejtései

Megoldások

1. Lapozzunk!

A matematikai enciklopédiának 1019 oldala van. 9 db egyjegyű, 90 kétjegyű és 900 háromjegyű szám van, vagyis egy 999 oldalas könyv oldalainak megszámozásához 2889 számjegyre van szükség. A további 80 számjeggyel 20 négyjegyű számot írhatunk fel, vagyis a könyvnek 1019 oldala van.

2. Űrmérték

Ez a feladat a Die Hard 3 klasszikus feladványa, 4 liter víz hatástalanítja a bombát az elefánt-szökőkútnál.

Első megoldás: Töltsük meg az ötliterest, majd ebből töltsük tele a háromliterest. Így marad a nagyobbikban két liter víz. Ürítsük ki a háromliterest, majd öntsük át bele a két liter vizet; így egyliteresnyi hely marad benne. Töltsük újra az ötliterest, majd öntsünk át a háromliteresbe, amíg meg nem telik (vagyis egy litert). Így pontosan négy liter marad a nagyobbik flakonban.

Második megoldás: Töltsük meg a háromliterest és öntsük át az ötliteresbe. Töltsük újra a háromliterest és töltsük színültig vele a nagyobbik flakont. Így egy liter marad a kisebbikben. Ürítsük ki az ötliterest, s töltsük át a háromliteresből a benne lévő egy litert. Töltsük újra a háromliterest, majd öntsük ezt is az ötliteresbe, így kapunk négy litert újfent.

3. Hány éves a kapitány?

31 éves a kapitány. Az adott számot prímszámok szorzatára bontjuk. 303335 = 5 * 19 * 31 * 103. Kicsi a valószínűsége annak, hogy a kapitány 103 éves, ahogy egy 19 évesnek sem valószínű, hogy ötéves a gyereke.

4. Pufi lufi

 Az első kompresszort T percig használjuk, a második 25 perccel kevesebb ideig, azaz T–25 percig működik. Az elsővel 2*T, a másodikkal 3*(T–25) db, összesen 400 db lufit fújunk fel. Az egyenlet 2*T+3*(T–25) = 400. Ebből T=95 perc, vagyis az első gép 2*T=190 db, a második 210 db lufit fújt fel.

5. Fel és le

a) +3, így a 8. emeletre érünk.
b) :2, így a 4. emeletre jutunk.
c) +3, így a 7. emeleten leszünk.
d) –4, így jutunk a 3. emeletre.
e) +3, már a 6. emeleten járunk.
f) +3, végre a 9. emeletre érünk.

Másik megoldás: –4, +3, +3, +3, –4, +3

6. Rómaiak 

A feladat: két egyenes vonallal vágd a téglalapot három egyforma részre úgy, hogy a számok összege minden részben IX legyen.

A megoldás:

 7. Bűvös négyzet 

Az alábbi négyzet minden sorában, oszlopában és átlójában szereplő négy szám összege 34, ami az 1+2+3+…+14+15+16 (=17*8) összegnek a negyed része. Hányféleképpen lehet a bűvös négyzetben négy szám összege 34? 

Megfejtés egy kis körítéssel: Összesen 86-féleképpen kapjuk meg a 34-et.

Albrecht Dürer német festőművész mind kézirataiban, mind képein bizonyítékát adta a különböző tudományok iránti szeretetének. Az 1514-ben készült Melankólia című rézmetszetén az embert fölfelé emelő szárnyakkal ábrázolja, kezében körzővel, a tudomány eszközével. A körülötte lévő szerszámok az ember alkotótevékenységére utalnak. A rézmetszet jobb felső sarkában található híressé vált bűvös négyzete a festő matematika iránti vonzalmát és tehetségét bizonyítja. A négyzet minden sorában, oszlopában és átlójában szereplő számok összege 34. Az alsó sor két középső száma 15 és 14 a metszet elkészülésének évszámát adja.

Ha tovább vizsgáljuk a beírt számokat, azt tapasztaljuk, hogy minden sorban és minden oszlopban, valamint a két átlóban szereplő számok összege 34, ami az 1+2+3+…+14+15+16 (=17*8) összegnek a negyed része. Hogy az előbb említetteken kívül mégis mitől különleges ez a bűvös négyzet, azt már viszonylag kevesebben ismerik. Nézzük meg a négy sarok- vagy a négy középső mezőben levő számok összegét: az is 34.

Hányféleképpen kaphatjuk meg ezt az összeget?

Vegyük észre, hogy a bűvös négyzetekben egy bizonyos “szimmetria” szerint kapjuk meg az összeget. A 4*4-es esetben négyes (sorok vagy oszlopok), illetve kettes (átlók) “szimmetria” szerint. A “szimmetria” szót itt úgy kell érteni, hogy valamilyen egybevágósági transzformációval jutunk az egyik négyes mezőcsoportból a másikba.

Ha sikerült felkeltenünk az érdeklődéseteket, javasoljuk, hogy keressetek négy olyan mezőt, amelyben a számok összege 34, majd próbáljátok meg egy “hasonló” elhelyezkedésű számnégyest találni. Biztosan sikerülni fog, mivel a szokásos 10-nél (sorok, oszlopok, átlók) sokkal több módon kaphatunk 34-et. A következő oldalakon ezek az ábrák találhatóak.

Négy darab “hasonló” elhelyezkedésű számnégyes:

14 féle négyes, azaz összesen 56 darab “négyes szimmetriát” találtunk.

Két darab “hasonló” elhelyezkedésű számnégyes:

15 féle, azaz összesen 30 darab “kettesszimmetriát” találtunk.

Összesen tehát 86-féleképpen kapjuk meg a 34-et, ami azért is meglepő, mert ha szisztematikus próbálkozással kezdünk a feladathoz (négy különböző – legalább 1 és legfeljebb 16 – természetes szám összegeként), azt tapasztaljuk, hogy ennél nem is lehet több!

(Forrás: sulinet)

Megfejtők:

Cseke Boldizsár (Anonym), Garamvölgyi Vince (AnAnÁsz), Grósz Tamara (Anonym),
Gyenes Bertold (Anonym), Terdy Máté (Anonym)

Gratulálunk!